табличные интегралы

Ответ от Андрей Степанов[гуру]
1. Разбейте подынтегральную функцию на 3 дроби - получите 3 интеграла. Сократите в них числитель со знаменателем (кроме третьего) и получите табличные интегралы. Во втором корень 4 степени от х это х^(1/4) и при делении на х получаете:
x^(1/4 - 1) = x^(-3/4) - это простая степенная функция. Ищите в таблице интегралов элементарных функций.
2. Делаете замену переменной:
y = 3 - 2x => dx = - dy/2
Подставляете, получаете интеграл от степенной функции (корень 3 степени от у в квадрате равен y^(2/3), а так как он стоит в знаменателе, по переведя в числитель получите y^(-2/3). Аналогично задаче 1)
3. Замена y = 1 - 5x => dx = -dy/5 приводит интеграл к табличному dy/y - смотрите в таблице интегралов элементарных функций (ее вообще-то надо наизусть знать) .
4. Замена y = 15x - 2 => dx = dy/15 приводит интеграл к табличному (тангенс) - см. таблицу интегралов.
5. сделаем замену переменной у = 2 - 8x^2 => dy = - 16xdx => xdx = -dy/16 и получите табличный интеграл от y^(-1/2)dy - это интеграл от степенной функции - смотрите в таблице интегралов!
6. Разделяем интеграл на 2 - в первом под интегралом 3/(9x^2 - 1), а во втором 2x/(9x^2 - 1)
В первом интеграле делаем замену y = 3x => dy = 3dx и получаем табличный интеграл (так называемый высокий логарифм) , во втором делаем замену y = 9x^2 - 1 => dy = 9*2xdx = > 2xdx = dy/9 и получаем табличный интеграл - логарифм.
7. Аналогично примеру 6 разделяем интеграл на 2 слагаемых. Первый интеграл - табличный (так называемый длинный логарифм) :
интаграл от dx/sqrt(a^2 + x^2) = ln|x + sqrt(a^2 + x^2)| + C - смотри таблицу интегралов. Тут а = sqrt(5) в Вашем случае.
Во втором интеграле замена переменной y = x^2 + 5 => dy = 2xdx приводит к табличному интегралу от dy/sqrt(y) = y^(-1/2)dy - интеграл от степенной функции.
8. вспоминаем производные: (lg(3x + 1)) = 3/(3x+1)ln(10), поэтому замена переменной
y = lg(3x + 1) => dy = 3dx/(3x+1)ln(10) => ln(10)dy/3 = dx/(3x+1) приведет Ваш интеграл к виду: [ln(10)/3]*ydy - надеюсь этот интеграл Вы взять сможете!
9. (ctg(x))' = 1/sin^2(x) - Так что замена переменной у = ctg(x) приведет подынтегральную функцию к виду:
y^(-1/3)dy - такого рода интеграл Вы уже вычисляли - смотри примеры 1 и 2.
Вот и все! !
Успехов.
И не забудьте там где делали замену переменной в окончательном ответе сделать обратную замену!