звездчатый додекаэдр

Ответ от Alexey Khoroshev[гуру]
Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников грани попарно соединяются в рёбрах. При этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами.
Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следущего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.
Правильные звёзчатые многогранники - это звёзчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что сушествует всего 4 правильных звёзчатых тела, не являюшиеся соединениями платоновых и звёзчатых тел, называемые телами Кепплера-Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и 16-я звёздчатая форма икосаэдра. Остальные правильные звёзчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел.
Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например Снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников, а некоторые молекулы и подавно имеют правильные структуры обьёмных фигур.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма) . Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

Малый звёздчатый додекаэдр.
У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы) , которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.
Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Геометрическое моделирование. Здесь приведены лишь самые основные понятия теории симметрии:
Источник: