5sinx cosx 5

Ответ от Ирина ткачёва[гуру]
sin^2 x-sinx=0
sin x (sin x - 1) = 0
sin x = 0; x=pi*k
sin x = 1; x=pi/2 + pi*k; k E z
x = pi/2 + pi*k/2; kEz
5sinx+cosx=5
Заменим cosX=корень из (1-sin(^2)X)
Значит, уравнение принимает вид:
корень из (1-sin(^2)X) =5-5sinX
Возводим обе части в квадрат:
1- sin(^2)X=25-50sinX+25sin(^2)X
26sin(^2)X - 50sinX+24=0 разделим на два каждый член уравнения
13sin(^2)X - 25sinX+12=0
Пусть sinX=t, |t|<=1
13t^2 - 25t+12=0
D=625-624=1
t1=(25+1)/26 =1,
t2=(25-1)/26=12/13
Вернемся к исходной переменной
sinX=1 или sinX=12/13
x=П/2+ 2Пк, к принадлежит Z
Х=(-1)^k*arcsin(12/13)+Пк, к принадлежит Z
Ответ: П/2+ 2Пк, (-1)^k*arcsin(12/13)+Пк, к принадлежит Z
его можно решить и вторым способом
Заменим sinx, cosx через tg(x/2).
10tg^2(x/2)/(1+tg^2(x/2))+(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))=5. Заменим tg(x/2)=y.
10y+1-y^2=5+5y^2, 1+y^2yне равно 0.
6y^2-10y+4=0,
3y^2-5у+2=0,D=1>0
y=1, tg(x/2)=1, x/2=пи/4+пи*n,n принадл. Z, x=пи/2+2пи*n,n принадл. Z
y=2/3, tg(x/2)=2/3, x/2=arctg(2/3)+пик, к принадл. Z, x=2arctg(2/3)+2пи*к, к принадл. Z