Автор Пользователь удален задал вопрос в разделе Образование
arccos( sqrt( 1-x^2 ) ) преобразуется в | arcsin( x ) |. как? и получил лучший ответ
Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
Принципиально важно добавить проверку области значений функции.
1) проверяем область значений:
|√(1−x²)| ≤ 1
Квадратный корень принимает только неотрицательные значения (при неотрицательном значении аргумента) ⇒
{1−x²≥0,
{√(1−x²) ≤ 1
⇔ |x|≤1
в левой части стоит арккосинус от числа, принимающего значения от 0 до 1 ⇒ значение арккосинуса принимает значения от 0 до π/2 (границы включаются)
2) в правой части: arcsin(x) ∈ [−π/2;π/2] ⇒
|arcsin(x)| ∈ [0;π/2]
3) возьмём косинус от обеих частей:
а) левая часть: cos(arccos(√(1−x²)) = √(1−x²) по определению арккосинуса
б) В правой части стоит выражение от 0 до π/2 (см. п. 2) ⇒ косинус этого выражения неотрицателен.
Используя чётность косинуса и основное тригонометрическое тождество, получаем:
cos(|arcsin(x)|) = cos(±arcsin(x)) = cos(arcsin(x)) = √(1−sin²(arcsin(x)) = √(1−x²)
4) Итак, мы получили, что косинусы от выражений, стоящих в левой и правой частях, равны.
А сами выражения при этом расположены в промежутке [0;π/2], на котором косинус монотонно убывает (от 1 до 0), а следовательно, аргумент косинуса восстанавливается по своему значению однозначно.
Следовательно, выражения в левой и правой частях равны. Что и требовалось доказать
arccos ( sqrt( 1-x^2 ) ) =m
cos m=sqrt( 1-x^2 )
cos^2 (m)=1-x^2
x^2=1-cos^2 (m)
x^2=sin^2(m)
|x|=|sin m|
m=| arcsin( x ) |.
arccos( sqrt( 1-x^2 ) ) =| arcsin( x ) |.
Известно, что sin(arcsinx) =x, тогда
arccosV(1-x^2) = arccosV(1-sin^2 (arcsinx)) = arccosVcos^2 (arcsinx) =
arccos Icos(arcsinx)I = IarcsinxI