Автор Грустина задал вопрос в разделе Прочее образование
Как доказать равенство треуголников? Примеры! и получил лучший ответ
Ответ от Надейка[гуру]
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1.
Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1,
BC и B1C1,
а угол ABC равен углу A1B1C1.
Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC.
При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 - со стороной BС. (В случае необходимости вместо треугольника A1B1C1 можно рассматривать равный ему "перевернутый" треугольник, т. е. треугольник, симметричный A1B1C1 относительно произвольной прямой .)
Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства
AB= A1B1,
ÐBAC = ÐB1A1C1,
ÐАВС= ÐА1В1С1.
Поступим так же, как и в предыдущем случае. Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно "перевернуть обратной стороной".
Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1
имеют место равенства АВ = А1В1,
ВС = В1С1,
СА = С1А1.
Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B.
Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC.
Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2.
В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)
Источник: ссылка. isa. ru/www /vladimirv /Geometry /dshar/sco_3.2.1/sco_3_2_1.html
Геометрия, Признаки равенства треугольников
Рис. 1
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.
Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: ? ABC = ? А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.
Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИА
Рис. 2
Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ? А = ? А1 (см. рис. 2). Докажем, что ? ABC = ? A1B1C1.
Так как ? А = ? А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.
Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.
Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭ
Рис. 3
Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).
Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.
Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.
Из последней теоремы вытекает теорема 4.
Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
Геометрия, Признаки равенства треугольников
Рис. 1
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.
Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: ? ABC = ? А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.
Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИА
Рис. 2
Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ? А = ? А1 (см. рис. 2). Докажем, что ? ABC = ? A1B1C1.
Так как ? А = ? А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.
Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.
Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭ
Рис. 3
Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).
Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.
Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.
Из последней теоремы вытекает теорема 4.
Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
как доказать что треугольники равны
Инструкция
1
Если у треугольников ABC и DEF две стороны равны, а угол α, который
подробнее...
решите задачу по геометрии, вопрос жизни и смерти Дано: угол HKN = углу MNK; KO=ON; Доказать: угол KHN = углу KMN
тр. KHN=тр. MKN, т. к. KN-общая, KH=NM, уг. HKN=уг. MNK ==> треугольники равны по двум сторонам
подробнее...
Как вы понимаете фразу "великий квадрат не имеет углов"?
если вы имеете в виду коаны, то это уже другая тема. здесь задача -поставить в тупик вашу логику,
подробнее...
как доказать,что углы при основании равнобедренного треугольника равны?
Доказательство: Пусть BD - биссектриса АВС, тогда по первому признаку равенства треугольников ABD =
подробнее...
Как доказать, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла
По признаку равенства треугольников:
опусти высоты из точки на биссектрисе на стороны угла.
Геометрия 11 класс. Как доказать что прямоугольник параллилограмм?
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно
подробнее...
3 признак равенства треугольников (3 случай) доказать
сли три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то
подробнее...
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников!
Теорема:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны
подробнее...
сформулируйте и докажите теорему,выражающую первый признак равенства треугольников
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум
подробнее...
Билеты по геометрии: ( Пропорциональные отрезки. Вывод теоремы о биссектрисе треугольника.
#yaimg164778#
BD/CD=AB/AC
Теорема о биссектрисе формулируется следующим образом:
подробнее...
Как решить задачу?? По этой теме: Доказать свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
подробнее...
1. Докажите теорему о свойстве медианы равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
подробнее...
признаки равнобедренного треугольника
признаки равнобедренного треугольника
ТУТ ПОДРОБНО С КАРТИНКАМИ