z y x

Ответ от —[гуру]
Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x. Тогда исходное уравнение равносильно системе
{ a + b + c = 0,
{ a³ + b³ + c³ = 30.
Из первого выражаем c = –(a + b). Подставляем во второе уравнение:
a³ + b³ – (a + b)³ = 30,
a³ + b³ – a³ – 3ab(a + b) – b³ = 30,
–3ab(a + b) = 30,
ab(a + b) = –10. (*)
Если x, y, z — натуральные, то a, b, c — целые. Равенство (*) показывает, что числами a, b могут быть только делители 10, то есть возможные значения a суть −1, −2, −5, −10, 1, 2, 5, 10. Попробуем найти соответствующие значения b. В общем виде из (*) получаем квадратное уравнение для b:
ab² + a²b + 10 = 0,
D = (a²)² – 40a = a²(a² – 40/a).
Чтобы b было целым, из числа a² – 40/a должен извлекаться корень.
a = 1; a² – 40/a = –39 — не годится.
a = 2; a² – 40/a = –16 — не годится.
a = 5; a² – 40/a = 17 — не годится.
a = 10; a² – 40/a = 96 — не годится.
a = −1; a² – 40/a = 41 — не годится.
a = −2; a² – 40/a = 24 — не годится.
a = −5; a² – 40/a = 33 — не годится.
a = −10; a² – 40/a = 104 — не годится.
Так что решений нет.