что такое аксиоматика

Ответ от
Определение 13 (пространство действительных чисел). Множество R называется пространством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнены следующие аксиомы:
Аксиома 1 (сложения) .
" (x, y) О Rґ R $ z = x+y О R
называемый суммой x и y. (Cимвол $ означает квантор существования и читается "существует".) При этом выполнены следующие свойства:
$ нейтральный элемент 0, называемый нулем, такой, что для любого xО R
x+0=0+x = x
Для любого элемента xО R существует элемент -x О R, называемый противоположным к x, такой, что
x+(-x) = (-x)+x = 0
Операция сложения ассоциативна, т. е. для любых x,y,zО R выполнено условие
(x+y)+z = x+(y+z)
Операция сложения коммутативна, т. е. для любых x,y О R
y+x = x+y
Аксиома 2 (умножения). " (x,y)О Rґ R ставится в соответствие элемент z = x· y О R, называемый произведением, при этом выполнены следующие условия
Существует нейтральный элемент 1О R 0 называемый единицей, такой, что " x О R
x· 1=1· x = x.
Для любого элемента xО R 0 найдется элемент x-1О R 0, называемый обратным, такой, что
x· x-1 = x-1· x = 1.
Операция умножения ассоциативна, т. е. " x,y,zО R 0
x· (y· z) = (x· y)· z.
Операция умножения коммутативна, т. е. для любых x,yО R 0
x· y = y· x.
Аксиома 3 (порядка). Между элементами множества R имеется отношение Ј, т. е. для элементов x,yО R установлено x Ј y или нет. При этом выполняются следующие условия:
x Ј x
x Ј y и y Ј x Ю y = x
x Ј y и y Ј z Ю x Ј z
" x,y О R xЈ y или yЈ x.
Аксиома 4 (связь порядка и сложения). Если x,y,z О R, то из x Ј y следует, что x+z Ј y+z
Аксиома 5 (связь порядка и умножения). Если
x і 0, y і 0, то x · y і 0
Аксиома 6 (непрерывности). Если X,Y М R -непустые, и при " x О X и " y О Y, выполнено условие x Ј y, то $ c О R: x Ј c Ј y.
Источник: