исследовать функцию

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
Замечание для начала: хорошо бы давать каждое задание отдельным вопросом, а то работы многовато, а оценивается она не очень высоко 😉
Исследовать функцию -- значит определить её область определния, множество значений; чётность/нечётность; нули, области знакопостоянства, критические точки, области возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, возможные асимптоты, оси и центры симметрии и построить график.
Итак, по порядку:
3. Обозначим f(x)=(x^2-x-6)/(x-2)=(x-3)(x+2)/(x-2)
f(x)=(x+1)-4/(x-2)
1. Область определения: x не равно 2.
2. Область значений -- выясним позже, при рассмотрении поведения функции (см. п. 11)
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.
x=0 => y=(-6)/(-2)=3
f(x)=0 => x=3 или x=-2
5. Области знакопостоянства
Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки
Нули: -2 и 3; критическая точка x=2.(см. п. 6)
В данном случае все критические точки и нули являются простыми, поэтому при переходе через них функция меняет знак.
Двигаемся справа налево по числовой оси:
при x>3 y>0
при 2<x<3>0
при x<-2 y<0
6. Критические точки, точки экстремума, области возрастания и убывания.
f(x) -- гладкая функция на всей числовой оси, за исключением x=2. При x, стремящемся к 2 (сверху или снизу) , y стремится, соответственно, к минус/плюс бесконечности. Значит, x=2 -- критическая точка; прямая x=2 -- вертикальная асимптота
При x, не равном 2:
f'(x)=1+4/(x-2)^2
f'(x)>0 при любом x, отличном от 2; поэтому локальных экстремумов (минимумов и максимумов) не существует
x<2 => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
x>2=> f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.
При x, не равном 2:
f''(x)=-8/(x-2)^3
f''(x) не равно 0; значит, точек перегиба не существует
x<2 => f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
x>2 => f''(x)<0 => f(x) выпукла вверх
8. Возможные асимптоты.
Вертикальная x=2, см. п. 6
Горизонтальных нет, т. к. конечного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует.
Наклонная: y=x+1, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, -4/(x-2) стремится к минус/плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте снизу/сверху)
9. Симметричность графика.
Делая подстановку t=x-2, получаем y-3=t-4/t;
функция g(t)=t-4/t является нечётной => график f(x) симметричен относительно точки x=2, y=3
10. Собственно график (см. рис) .
11. (факультативно) количество решений уравнения f(x)=y в зависимости от y.
Из графика видно, что при любом y существуют ровно 2 решения уравнения y=f(x).
Их можно найти, сделав подстановку t=x-2.
Тогда y-3=t-4/t;
x = [(y+1) плюс/минус sqrt((y-3)^2+16)] / 2