как решать рациональные уравнения

Ответ от Александр Титов[гуру]
Целые рациональные уравнения вида P(x) = 0, где Р (х) - многочлен, можно решать множеством способов, но все они, так или иначе, сводятся к разложению многочлена в левой части на множители, являющиеся многочленами первой степени, либо второй степени, далее неразложимыми.
Простейшее уравнение подобного типа - линейное уравнение ax + b = 0, где a не равно нулю (в противном случае оно не имеет решений, если b не равно нулю или имеет решением любое число, если b = 0). Такое уравнение имеет единственное решение x = -b/a. Для решения конкретного линейного уравнения необходимо из него определить, чему равны коэффициенты a и b, подставить их в формулу выше и, произведя несложные арифметические действия, получить число - корень уравнения.
Если дано квадратное уравнение ax^2 + bx + c (a не равно нулю) , то оно может иметь два корня, один корень или ни одного корня, в зависимости от дискриминанта уравнения D, который вычисляется как D = b^2 - 4ac. Если D<0, то корней уравнения не имеет, если D = 0, то оно имеет единственный корень x = -b/2a, если D>0, то уравнение имеет два корня x1 = (-b + корень из D)/2a и x1 = (-b - корень из D)/2a. Вывод формулы для корней квадратного уравнения основан на разложении квадратного трёхчлена в левой части на множители и, если это удаётся, составлении совокупности линейных уравнений путём приравнивания каждого из множителей нулю (произведение выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а все остальные имеют смысл) .
В более сложных случаях, если P(x) - многочлен третьей или четвёртой степени, то формулы для определения корней таких уравнений тоже существуют, но эти формулы настолько сложны, что ими при возможности предпочитают не пользоваться. Для решения уравнений пятой и более высокой степени общей формулы корней уравнения вообще не существует. Поэтому, если уж встретилось уравнение третьей и более высокой степени, то его пытаются решить общим способом, а именно, разложением левой части на множители. Сделать это можно двумя способами, либо попытаться преобразовать левую часть методом группировки так, чтобы она содержала общий множитель, чтобы его можно было вынести за скобки, либо методом подбора определить один из корней уравнения x0, после чего разделить левую часть на x-x0 и получить уравнение степени ниже на 1. В обоих случаях, если необходимо, повторять процедуры до тех пор, пока левая часть не будет разложена а далее неразложимые множители. Корень каждого из совокупности линейных уравнений и будет корнем данного уравнения.
К рациональным уравнениям помимо целых уравнений относятся ещё и дробно-рациональные уравнения. Это уравнения вида P(x)/Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) - многочлены. Эта дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель её равен нулю, а знаменатель не равен нулю (иначе дробь не имеет смысла) . Поэтому для решения таких уравнений нужно решить уравнение P(x) = 0 (см. выше) , а затем, для каждого из полученных решений проверить, является ли оно решением уравнения Q(x) = 0. Для этого уравнение Q(x) = 0 совсем необязательно решать, достаточно подставить в многочлен Q(x) каждый корень уравнения P(x) и посмотреть, равно ли оно нулю. Если да, - это посторонний корень и в ответ его включать нельзя, если нет - это корень заданного дробно-рационального уравнения, который составляет часть ответа.
Обычно, дробно-рациональные уравнения заданы в виде двух сумм дробей, соединённых знаком =. В этом случае, следует перенести все выражения в левую часть так, чтобы в правой остался ноль. Затем, приведя все дроби к общему знаменателю, выполнить их сложение (вычитание) так, чтобы получилась одна дробь. Затем решить уравнение вышеизложенным методом.
Это - общий академический способ решения рациональных уравнений.