показательная функция

Ответ от Антонина Михайловна[эксперт]
При a > 0, a = 1, определена функция y = a x, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a. Основные свойства показательной функции y = a x при a > 1: •Область определения функции - вся числовая прямая. •Область значений функции - промежуток (0;+ ). •Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2, то ax1 < ax2 . •При x = 0 значение функции равно 1. •Если x > 0, то a x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1. Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке. Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1: •Область определения функции - вся числовая прямая. •Область значений функции - промежуток (0;+ ). •Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1< x2, то ax1 > ax2 . •При x = 0 значение функции равно 1. •Если x > 0, то 0 < a < 1 и если x < 0, то a x > 1. К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся: oax1 ax2 = ax1+ x2, для всех x1 и x2. oa−x=(ax)−1=1ax для любого x. o nax=axn для любого x и любого n N n =1 . o(ab)x = ax bx для любых a, b > 0; a,b =1 . o(ba)x=bxax для любых a, b > 0; a,b =1 . oax1 = ax2, то x1 = x2. Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x n, x > 0. Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x . К основным свойствам степенной функции y = x a при a > 0 относятся: •Область определения функции - промежуток (0; + ). •Область значений функции - промежуток (0; + ). •Для любых a график функции проходит через точку (1; 1). •Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 < ar2 . •График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке. К основным свойствам степенной функции y = x a при a < 0 относятся: •Область определения функции - промежуток (0; + ). •Область значений функции - промежуток (0; + ). •Для любых a график функции проходит через точку (1; 1). •Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 > ar2 . •График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке. Справедливы следующие свойства степенной функции: oxa1xa2 = xa1 + a2 oxa1 : xa2 = xa1 - a2 o(xa1)a2 = xa1 a2 oxa1 > xa2, x > 1, a1 > a2 oxa1 < xa2, 0 < x < 1, a1 < a2