разложение на множители квадратного трехчлена онлайн

Ответ от Максим Ю. Волков[гуру]
Теорема. Пусть x1 и x2 - корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом: x2 + px + q = (x - x1) (x - x2).
Доказательство. Подставим вместо p и q их выражения через x1 и x2 и воспользуемся способом группировки:
x2 + px + q = x2 - (x1 + x2) x + x1 x2 = x2 - x1 x - x2 x + x1 x2 = x (x - x1) - x2 (x - x1) = = (x - x1) (x - x2). Теорема доказана.
Эта теорема позволяет без дополнительных вычислений раскладывать квадратный трехчлен на множители, если по теореме Виета мы догадались о его корнях.
Пример. Разложить на множители трехчлен x2 - 4x - 21. Корни трехчлена подбираются устно: x1 = 7, x2 = -3 (произведение их модулей равно 21, они разных знаков, причем больший по модулю положителен) . Получаем ответ:
x2 - 4x - 21 = (x - 7) (x + 3)
Для исследования сюжета рекомендуется манипулятор "Разложение трехчлена на множители".
Что же делать, если с помощью теоремы Виета мы не можем угадать корни? Наиболее общим способом разложения квадратного трехчлена (а значит, и нахождения его корней) является способ выделения полного квадрата.
Рассмотрим примеры.
1. P = x2 + 2x - 1
Квадратный трехчлен P целых корней иметь не может. Попробуем выделить полный квадрат: x2 + 2x - 1 = x2 + 2x + 1 - 1 - 1 = (x + 1)2 - 2.