симметрические уравнения

Ответ от —[гуру]
Любое симметрическое выражение (от двух переменных) можно выразить через элементарные u=x+y и v=xy. (В случае трёх переменных: u=x+y+z, v=xy+yz+zx, w=xyz.) Иногда это облегчает решение. Иногда удобнее использовать другие (симметрические) комбинации переменных, скажем, x²+y² и xy (вместо x+y, xy).
{ x+xy+y=5,
{ x²+xy+y²=7;
{ u+v=5,
{ u²−v=7;
{ v=5−u,
{ u²+u−5=7;
{ v=5−u,
{ u²+u−12=0,
{ v=5−u,
{ [ u=3,
{ [ u=−4,
[ { x+y=3,
[ { xy=2,
[
[ { x+y=−4,
[ { xy=9.
Первая система даёт (x; y) = (1; 2) или (2; 1). Вторая решений не имеет.
==========
Как можно решать систему
{ x+y=u,
{ xy=v.
По теореме Виета числа x, y — корни уравнения z²−uz+v=0. По найденным z₁, z₂ получаем два решения системы: (x; y) = (z₁; z₂), (z₂, z₁).