sin 2pi 5

Ответ от Алиса Шмелева[гуру]
может быть здесь надо прибавить логарифм с чем-то и отнять. и занести под другой логарифм (это с самого начала - не занося под один логарифм

Ответ от Ѐома[мастер]
посчитать можно следующим образом:
нужно заметить что cos(2pi/5) = sin(pi/10)
sin(pi/10) = sqrt(((1-cos(pi/5))/2). (sqrt() обозначает квадратный корень)
в дальнейшем x := cos(pi/5)
получается 2x^2-1=sqrt((1-x)/2) => 8x^4-8x^2+x+1=0 => 2(x+1)(x-1/2)(4x^2-2x-1)=0
корни x=-1, 1/2 можно не рассматривать остаются (1+sqrt(5))/4 и (1-sqrt(5))/4 но последний имеет отрицательное значение.
получается cos(pi/5) = (1+sqrt(5))/4
Задачу можно однако решить проще. cos(pi/5) это просто дейсвительная часть 5-го корня из минус 1-цы. допустим что z^5+1=0. значит (z+1)(z^4-z^3+z^2-z+1)=0. корень z=-1 можно забыть -- он не примитивный. значит z^4-z^3+z^2-z+1=0
Получается что z^3+z = z^4+z^2+1 и соответственно Re( z^3+z ) = Re( z^4+z^2+1 ) где Re() обозначает действительную часть комплексного числа, а Re( z^3+z ) не что иное как cos(3pi/5)+cos(pi/5) и Re( z^4+z^2+1 ) -- cos(4pi/5)+cos(2pi/5)+1. Но засчет симметрии ясно что cos(3pi/5) = -cos(2pi/5) и cos(pi/5) = -cos(4pi/5). Получается cos(3pi/5)+cos(pi/5) = 1/2
Решая задачу сначала log(2)(cos(pi/5)) + log(2)(cos(2pi/5) = log(2)(cos(pi/5)cos(2pi/5) )= log(2)( (1/2) ( cos(pi/5)+cos(3pi/5) ) = log(2) (1/4) = -2
Кстати в принципе как эта задача по трудности в сравнении с остальными и какие знания мат-ки ожидают на егэ?

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]