Автор Влад Ермолаев задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Найти сумму sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx с помощью формул Эйлера и получил лучший ответ
Ответ от Алексей Лукьянов[гуру]
По формуле Эйлера е^ix = i*sinx + cosx, таким образом получаем, что
i*sinx + cosx = е^ix,
i*sin2x + cos2x = е^2ix,
i*sin3x + cos3x = е^3ix,
....
i*sinnx + cosnx = е^nix.
i*(sinx + sin2x + sin3x + .+sinnx) + (cosx + cos2x + cos3x + .+cosnx) =
е^ix + е^2ix + е^3ix + .+е^nix.
Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем, что
е^ix + е^2ix + е^3ix + .+е^nix = е^ix*(е^nix - 1)/(е^ix - 1)
Теперь снова используем формулу Эйлера и получаем, что:
е^ix*(е^nix - 1)/(е^ix - 1) = (i*sinx + cosx)*(i*sinnx + cosnx - 1)/(i*sinx + cosx -1) = (i*sinx + cosx)*(i*sinnx + cosnx - 1)*(-i*sinx + cosx -1)/(sin^2x + (cosx - 1)^2) = (1 - i*sinx - cosx)*(i*sinnx + cosnx -1)/(2 - 2cosx) = i*[sinx + sin(nx) - sin(n + 1)x]/(2 - 2cosx) + [cosx + cosnx - cos(n+1)x - 1]/(2 - 2cosx)
i*(sinx + sin2x + sin3x + .+sinnx) + (cosx + cos2x + cosx + .+cosnx) =
= i*[sinx + sin(nx) - sin(n + 1)x]/(2 - 2cosx) + [cosx + cosnx - cos(n+1)x - 1]/(2 - 2cosx), и значит,
sinx + sin2x + sin3x + .+sinnx = [sinx + sin(nx) - sin(n + 1)x]/(2 - 2cosx).
Алексей Лукьянов
Высший разум
(100593)
зато правильный
Im(e??(e??? ? 1)/(e?? ? 1)).
sinx + sin^2 x/2= cos^2 x/2
Переносим, получаем
sinx + sin^2 x/2- cos^2 x/2=0
sinx-cosx=0, делим обе части на cosx
подробнее...
помогите решить. 1/2 sin2x+sin^2 x-sinx=cosx
1/2 sin2x+sin^2 x-sinx=cosx
по формуле двойного угла
sinxcosx+sin^2x-sinx-cosx=0
подробнее...
А как решать Sinx - корень из 3 cos x =0 Скажите хотябы способ или чё на чё заменить...
Решение:
sinx-√3cosx=0
1/2*sinx-√3/2*cosx=0
подробнее...
чему равна производная f(x) = sin^4 x - cos^4 x ?
sin^4x-cos^4x=(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)=sin^2x-cos^2x=-cos2x
подробнее...
Что больше sin(cosx) или cos(sinx)? Почему??
Приведу другое доказательство того, что cos(sin(x)) > sin(cos(x)) при всех х.
Так как
подробнее...
Помогите пожалуйста решить уравнения1) cosx=sinx 2) sin2x+2sinx=cosx+1 3) sinx+sin3x=0 4) 2sin2x+3cos2x+2sinx=0 5) 2sin
Решение:
1) cosx=sinx
tgx=1
x=π/4+πn
2) sin2x+2sinx=cosx+1
подробнее...
Преобразование выражения asinx+bcosx к виду c sin(x +t).
Пользуемся формулой:
sin(x+t)=sin(x)*cos(t)+cos(x)*sin(t)
Из исходного
подробнее...
sinx-1=2cos2x как решается?
sin(x)-1 = 2 - 4Sin^2(x)
4Sin^2(x) + sin(x) - 3 = 0
решай как обычное кв-тное
подробнее...
Решите sin(3x)=cos(2x)
влом!
вырази синус 3х через синус х и косинус2х через синусх (формулы существуют)
затем
подробнее...
самые популярные песни sum41? самые популярные песни sum41&?
Sum 41 - Pieces
Sum 41 - Still Waiting
Sum41 - With me.
Sum 41 - Underclass Hero
подробнее...
решите систему уравнений sinXsinY=14 и X+Y=П/3
y=p/3-x
sinx*sin(p/3-x)=1/4
sinx*(sinx-sqrt(3)/2*cosx)=1/2
подробнее...
Помогите с уравнением
И чем только не займется человек, вместо того, чтобы готовиться к физике.. .
подробнее...
Помогите решить уравнение tgx=ctgx
tg x=ctgx
sinx/cosx=cosx/sinx
sin^2 x=cos^2 x
cos^2 x -sin^2 x=0
подробнее...
Что за папка .swt Что это за папка и можно ли её удалять?
НЕТ
Standard Widget Toolkit, или SWT (произносится «свит») — библиотека с открытым исходным
подробнее...