свойства функций непрерывных на отрезке

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Непрерывные функции можно интегрировать по всему отрезку или
по части отрезка. Предел непрерывной функции в точке равен значению
функции в этой точке.
Очень важная теорема Коши: Если функция непрерывна на отрезке и
значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, то внутри отрезка
есть по крайней мере один корень функции. Применяется для приближенного вычисления корней функций ("метод половинного деления").
И обобщение (теорема о среднем значении) .
В жизни это свойство непрерывных функций используется очень часто,
Например, мы хотим согреть бутылку с соком до 20 градусов, начиная
с 15 градусов, и ставим её в ведро с водой 30 градусов. В процессе
нагревания температура сока увеличивается непрерывно и НАВЕРНЯКА
в некоторый момент станет ровно 15 градусов, не перепрыгнет через
это значение. Это кажется само собой разумеющимся, но это только
показывает, как важны в жизни непрерывные процессы.
Теорема Вейерштрасса: Функция, непрерывная на отрезке, принимает
своё наименьшее и свое наибольшее значения в какой-нибудь точке
отрезка (внутри или на границе) .
К теореме Вейерштрасса: Кто-то из великих математиков (кажется, Гильберт)
шутил, что существует расстояние, с которого женское лицо кажется наиболее
красивым. В самом деле, красота, очевидно, величина неотрицательная и
непрерывно зависит от расстояния до объекта. При бесконечно большом
расстоянии, как и при нулевом, красота, очевидно, равна нулю. Значит,
существует расстояние, на котором красота максимальна!