тригонометрическая запись комплексного числа

Ответ от Кирилл Беловодский[активный]
Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у) , т. е. и полярные, то они связаны соотношением (1):
.
По определению, и из (1) получаем:
. (9)
Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем:. Или
(10)
Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется его тригонометрической формой.
Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:
, (11)
где .
Теорема. (О равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме. )
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы.
Доказательство. Так как между всеми комплексными числами и всеми точками комплексной плоскости существует взаимно однозначное соответствие, то равные комплексные числа отождествляются на комплексной плоскости с одной и той же точкой, следовательно, имеют одни и те же полярные координаты, т. е. полярный радиус, который по определению равен модулю комплексного числа, и полярный угол, который по определению равен аргументу комплексного числа. Обратно, если комплексные числа имеют равные модули и аргументы, то они изображаются на комплексной плоскости одной точкой и, следовательно, равны.
Теорема доказана.
Используя соотношения, которые связывают полярные и декартовые координаты точки плоскости, можно найти модуль и аргумент комплексного числа зная его действительную и мнимую части.
Пусть, т. е. , Тогда
, (12)
, если точка z лежит в первой или четвертой четверти или, если точка z лежит во второй или третьей четверти. Также можно пользоваться формулами (6) – (8) п. 1, где .
Пример. Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа z, если:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение. а) , .
, .
Ответ: .
б) , ,
Ответ: .
в) , ,
Ответ: .
г) , ,
Ответ: .
д) , ,
.
Ответ: , где .
Замечание. В некоторых случаях удобнее не пользоваться формулами, а изображать на чертеже соответствующую точку на комплексной плоскости и находить модуль и аргумент комплексного числа пользуясь чертежом. Например, найдем тригонометрическую форму комплексного числа .
Число соответствует на комплексной плоскости точке. Отметим ее на координатной плоскости:
рис. 5.
Из рис. 5 мы сразу же видим, что и. Отсюда, .
Найдем, далее тригонометрическую форму числа комплексно сопряженного числу, т. е. .
Из рис. 5 мы видим, что, и
или .
Замечание. Несмотря на то, что, а, форма записи комплексного числа z с аргументом в виде не является тригонометрической, т. к.. В этом случае правильной записью тригонометрической формы комплексного числа будет:
или .