в основание четырехугольной пирамиды sabcd лежит прямоугольник

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
1) Поскольку SB перпендикулярна ABC, а CD перпендикулярно AB (ABCD — прямоугольник) , то угол между плоскостями SCD и ABC — это угол SCB.

Из прямоугольного треугольника SBC: SB = SC * sin 20 = 8 * (1/2) = 4; BC = SC * cos 30 = 8 * sqrt(3)/2 = 4sqrt(3).
Отсюда площадь основания равна S = BC * CD = 4sqrt(3) * 8 = 32sqrt(3)
Площадь грани SBC равна s = (1/2)*SB*BC = (1/2)*4sqrt(3)*4 = 8 sqrt(3);
их отношение S/s = 4
ОТВЕТ: в 4 раза
======================================================================
2)
В силу симметрии задачи центр описанного шара H находится на высоте KO. Пусть расстояние OH = h; тогда требуется выполнение условий (R =) KH = HC. KH = 2 - h, CH найдём по теореме Пифагора из треугольника OCH:
CH^2 = OC^2 + OH^2 = (2sqrt(2))^2 + h^2 = h^2 + 8
Имеем: (2-h)^2 = h^2 + 8. Решая это уравнение, получаем: h=-1. Отрицательное значение h означает, что точка H лежит на продолжении отрезка KO (т. е. исходный чертёж был неправильным) .
Отсюда радиус описанного шара R = 2 - h = 2 - (-1) = 3
ОТВЕТ: 3
==========================================================================
3)

Опустим из вершины K высоту KO на плоскость ABC. Прямоугольные треугольники AOK, BOK, COK равны, т. к. у них равны гипотенузы AK=BK=CK и общий катет KO. Значит, равны и другие катеты: AO=BO=CO. Таким образом, O — центр описанной около треугольника ABC окружности.
Обозначим R=AO, h =KO. Из треугольника AOK по теореме Пифагора h = sqrt(AK^2-AO^2)
Для нахождения объёма достаточно знать площадь основания и высоту: V = (1/3) S * h; h = sqrt
Радиус описанной окружности и площадь треугольника ABC легко найти, зная длины сторон, по формулам
R = (abc) / (4S) — см. , например,
S = sqrt (p(p-a)(p-b)(p-c)) — формула Герона, где p=(a+b+c)/2 — полупериметр.
Осталось подставить значения a=20, b=15, c=7:
p = (20+15+7)/2 = 21
S = sqrt(21*(21-20)*(21-15)*(21-7)) = sqrt(7*3*3*2*2*7) = 2*3*7 = 42
R = (20*15*7) / (4*42) = 25/2
h = sqrt((31/2)^2-(25/2)^2) = sqrt(84) = 2sqrt(21)
V = (1/3) S * h = (1/3) * 42 * 2sqrt(21) = 28*sqrt(21)
ОТВЕТ: V = 28*sqrt(21)