y arcctg x

Ответ от Ника[гуру]
Решение:
y=x-arctgx
1) область определения D(y):(-∞;∞)
2) Множество значений: E(y)
3) проверим, является ли функция четной или нечетной:
у (x)=x-arctgx
y(-x)=-x-arctg(-x)=-x+arctgx
Так как у (-х) =-у (х) , то функция не четная.
4) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания:
y'=1-1/(1+x²)=x²/(1+x²); y'=0
x²/(1+x²)=0
x²=0
x=0
Так как на промежутках (-∞;0) и (0;∞) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастает
Так как при переходе через точку х=0 производная не меняет свой знак, то она не является точкой экстремума.
5) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида:
y"=(2x(1+x²)-2x*x²)/(1+x²)²=2x/(1+x²)²); y"=0
2x/(1+x²)²)=0
2x=0
x=0
Так как на промежутке (-∞;0) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутке (0;∞) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз.
Точка х=0; являются точкой перегиба.
у (0)=0
7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты:
Так как точек разрыва финкция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот.
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim (при х->∞) (y(x)/x)=lim (при х->∞) (1-arxtgx/x)=1
b= lim (при х->∞) (y(x)-kx)=lim (при х->∞) (-arctgx)=-π/2
итак наклонная у=х-π/2
8) Все, строй график