y x sin 2x

Ответ от Александр Титов[гуру]
sin x^2 - это сначала аргумент возводится в квадрат, потом от того, что получилось, берётся синус.
sin^2 x - сначала от аргумента берётся синус, потом то, что получилось, возводится в квадрат.
Более понятно: первое - это sin (x^2), второе - это (sin x)^2
Чтобы найти производную дроби, нужно сначала найти производные числителя и знаменателя. Это - сложные функции и производная ищется по формуле (g(f(x)) ' = g ' (f(x) * f ' (x), где g(x) - внешняя функция, та, которая применяется последней, f(x) - внутренняя функция. Иначе говоря, сначала берётся производная внешней функции от аргумента, равного внутренней функции, а потом она умножается на производную внутренней функции от её аргумента.
В случае с sin x^2 внешняя функция - это синус, внутренняя - квадрат, производная равна cos x^2 * (x^2)' = 2x * cos x^2
В случае с sin^2 x - наоборот, внешняя функция - квадрат, внутренняя синус, производная равна 2 * sin x * (sin x)' = 2*sin x * cos x = sin(2x)
Итак, u(x) = sin^2 (x), u ' (x) = sin(2x)
v(x) = sin (x^2), v ' (x) = 2x * cos x^2
Исходная функция есть дробь u(x) / v(x), её производная ищется по формуле:
(u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))^2
Все данные для этого получены. Осталось только подставить их, преобразовать, упростить и получить ответ.
Производная равна
(sin(2x) * sin (x^2) - sin^2 (x) * 2x * cos (x^2)) / sin^2 (x^2).
В принципе, можно не упрощать, в задании на нахождение производной обычно этого не требуют.