найти производные функции

Ответ от Ђатьяна Шульга[гуру]
Правила дифференцирования
Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';
2) (u+v)' = u'+v';
3) (uv)' = u'v+v'u;
4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2;
5) если y = f(u), u = j(x), т. е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то, или
;
6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .
Таблица производных
На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.
1. (um)' = m um-1 u' (m принадлежит R1 )
2. (au)' = au lna× u'.
3. (eu)' = eu u'.
4. (loga u)' = u'/(u ln a).
5. (ln u)' = u'/u.
6. (sin u)' = cos u× u'.
7. (cos u)' = - sin u× u'.
8. (tg u)' = 1/ cos2u× u'.
9. (ctg u)' = - u' / sin2u.
10. (arcsin u)' = u' /.
11. (arccos u)' = - u' /.
12. (arctg u)' = u'/(1 + u2).
13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u2).
Вычислим производную степенно-показательного выражения
y=uv, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'.
Прологарифмировав равенство y=u v, получим ln y = v ln u.
Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:
y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).
Итак,
(u v)'=u v (vu'/u+v' ln u), u > 0.
Например, если y = x sin x, то y' = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).
Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т. е. имеет в этой точке конечную производную y', то = y'+ α, где α→0 при Δх →0; отсюда Δy = y' Δх + αx.
Главная часть приращения функции, линейная относительно Δх, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' Δх. Если положить в этой формуле y=x, то
получим dx = x'Δх = 1×Δх =Δх, поэтому dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.
Приращение функции Δy есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.
Источник: