разложение на множители
Автор Fs sdf задал вопрос в разделе Другое
Как разложить многочлен на множители? и получил лучший ответ
Ответ от Helga[гуру]
Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей.
При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма:
вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1.Способ вынесения множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac+bc=c(a+b). Здесь c является общим множителем, который можно вынести за скобку.
Этим правилом можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.
2.Способ формул сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
3.Способ группировки
Сам способ группировки заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удаётся представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения
Нужно вынести что нибудь за знак скобки
Разложение многочленов будем проводить в соответствии с планом.
Разложить многочлены на множители:
[1)14c{d^2} + 49{c^2}d;]
Проверяем, нет ли общего множителя. Общий множитель есть, он равен 7cd. Выносим его за скобки:
[14c{d^2} + 49{c^2}d = 7cd(2d + 7c);]
Выражение в скобках состоит из двух слагаемых. Общего множителя уже нет, формулой суммы кубов выражение не является, значит, разложение завершено.
[2)25{x^2} - 30xy + 9{y^2}]
Проверяем, нет ли общего множителя. Нет. Многочлен состоит из трех слагаемых, поэтому проверяем, нет ли формулы полного квадрата. Два слагаемых являются квадратами выражений: 25x?=(5x)?, 9y?=(3y)?, третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений: 2•5x•3y=30xy. Значит, данный многочлен является полным квадратом. Так как удвоенное произведение со знаком «минус», то это — полный квадрат разности:
[25{x^2} - 30xy + 9{y^2} = ]
[ = {(5x)^2} - 2 cdot 5x cdot 3y + {(3y)^2} = {(5x - 3y)^2};]
[3){a^3} - a;]
Проверяем, нельзя ли вынести общий множитель за скобки. Общий множитель есть, он равен a. Выносим его за скобки:
[{a^3} - a = a({a^2} - 1) = ]
В скобках — два слагаемых. Проверяем, нет ли формулы разности квадратов или разности кубов. a? — квадрат a, 1=1?. Значит, выражение в скобках можно расписать по формуле разности квадратов:
[ = a(a - 1)(a + 1);]
[4)80 + 40a + 5{a^2};]
Общий множитель есть, он равен 5. Выносим его за скобки:
[80 + 40a + 5{a^2} = 5(16 + 8a + {a^2}) = ]
в скобках — три слагаемых. Проверяем, не является ли выражение полным квадратом. Два слагаемых — квадраты: 16=4? и a? — квадрат a, третье слагаемое равно удвоенному произведению 4 и a: 2•4•a=8a. Следовательно, это — полный квадрат. Так как все слагаемые со знаком «+», выражение в скобках является полным квадратом суммы:
[ = 5({4^2} + 2 cdot 4 cdot a + {a^2}) = 5{(4 + a)^2};]
[5) - 128x - 2{x^4} ; ]
Общий множитель -2x выносим за скобки:
[ - 128x - 2{x^4} = - 2x(64 + {x^3}) = ]
В скобках — сумма двух слагаемых. Проверяем, не является ли данное выражение суммой кубов. 64=4?, x?- куб x. Значит, двучлен можно разложить по формуле суммы кубов:
[ = - 2x({4^3} + {x^3}) = ]
[ = - 2x(4 + x)({4^2} - 4 cdot x + {x^2}) = ]
[ = - 2x(4 + x)(16 - 4x + {x^2});]
[6)4a + 24ab - 8b - 12{a^2} = ]
Общий множитель есть. Но, поскольку многочлен состоит из 4 членов, мы будем сначала группировать слагаемые, а уже потом выносить за скобки общий множитель. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, в второе — с третьим:
[ = (4a - 12{a^2}) + (24ab - 8b) = ]
Из первых скобок выносим общий множитель 4a, из вторых — 8b:
[ = 4a(1 - 3a) + 8b(3a - 1) = ]
Общего множителя пока нет. Чтобы его получить, из вторых скобок вынесем за скобки «-», при этом каждый знак в скобках изменится на противоположный:
[ = 4a(1 - 3a) - 8b(1 - 3a) = ]
Теперь общий множитель (1-3a) вынесем за скобки:
[ = (1 - 3a)(4a - 8b) = ]
Во вторых скобках есть общий множитель 4 (этот тот самый множитель, который мы не стали выносить за скобки в начале примера):
[ = 4(1 - 3a)(a - 2b);]
[7)16{m^2} - 9{n^2} - 20m + 15n = ]
Поскольку многочлен состоит из четырех слагаемых, выполняем группировку. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:
[ = (16{m^2} - 9{n^2}) + ( - 20m + 15n) = ]
В первых скобках общего множителя нет, но есть формула разности квадратов, во вторых скобках общий множитель -5:
[ = (4m - 3n)(4m + 3n) - 5(4m - 3n) = ]
Появился общий множитель (4m-3n). Выносим его за скобки:
[ = (4m - 3n)((4m + 3n) - 5) = ]
[ = (4m - 3n)(4m + 3n - 5);]
[8)9 - 25{x^2} + 30xy - 9{y^2} = ]
Группировка по два слагаемых не дает результа. Группируем второе, третье
1.Способ вынесения множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac+bc=c(a+b). Здесь c является общим множителем, который можно вынести за скобку.
Этим правилом можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.
2.Способ формул сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
3.Способ группировки
Сам способ группировки заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удаётся представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения