Автор Дима матвиенко задал вопрос в разделе Домашние задания
что такое теорема Виета и получил лучший ответ
Ответ от Coolfire[гуру]
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, т. е. x1 + x2 = – p и x1 x2 = q
Ответ от Ђатьяна Николаева[новичек]
Смотри, у тя есть квадратное уравнение (квадратное - потому что квадрат - это вторая степень, и у тя в нем выше второй степени ниче нет)
^ -значок степени
буквы - любые числа
ax^2 + bx +c =0 -это общий вид уравнения
раз оно второй степени, то в нем будет 2 корня (пофиг разных или одинаковых) ,
обычно они обозначаются как x1 и x2. Теорема Виета используется когда а=1, то есть када у тя ур-е выглядит так: x^2+bx+c=0
Теорема Виета в общем виде:
x1+x2=-b
x1*x2=c
И вот ты сидишь и в уме подбираешь.
Пример: x^2-10х+25=0
У тя тут: a=1, b=-10 c=25
Подставляешь:
x1+x2=-b=10
x1*x2=c=25
Ясно, что при данной системе х1=5, x2=5
Смотри, у тя есть квадратное уравнение (квадратное - потому что квадрат - это вторая степень, и у тя в нем выше второй степени ниче нет)
^ -значок степени
буквы - любые числа
ax^2 + bx +c =0 -это общий вид уравнения
раз оно второй степени, то в нем будет 2 корня (пофиг разных или одинаковых) ,
обычно они обозначаются как x1 и x2. Теорема Виета используется когда а=1, то есть када у тя ур-е выглядит так: x^2+bx+c=0
Теорема Виета в общем виде:
x1+x2=-b
x1*x2=c
И вот ты сидишь и в уме подбираешь.
Пример: x^2-10х+25=0
У тя тут: a=1, b=-10 c=25
Подставляешь:
x1+x2=-b=10
x1*x2=c=25
Ясно, что при данной системе х1=5, x2=5
Ответ от Иришка островерхая[гуру]
Как связаны между собой корни квадратного трехчлена x2 + px + q и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя “отца алгебры”, французского математика Ф. Виета, жившего в конце XVI века.
Теорема.
Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.
Доказательство. Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:
x1 + x2 = –p
x1 x2 = q
Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства:
x12 + px1 + q = 0
x22 + px2 + q = 0
Вычтем эти равенства друг из друга. Получим
x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0
Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 ¹ 0 и мы можем сократить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы:
x1 + x2 = –p
Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2):
x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Преобразуя левую часть, получаем:
x12 – x12 – x2 x1 + q = 0
x1 x2 = q, что и требовалось доказать.
Комментарий. Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 × 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями. Эту догадку можно аккуратно доказать.
Теорема. Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = –p и x1 x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x2 + px + q = 0.
Доказательство. Из первого из данных равенств выразим x2 и подставим во второе: x2 = –p – x1, x1 × x2 = x1 × (–p – x1) = q. Получаем –x12 – px1 = q или x12 + px1 + q = 0. Это означает, что число x1 является корнем квадратного уравнения x2 + px + q = 0. Если бы наоборот мы выразили x1 через x2, то получили бы и для x2 аналогичное соотношение: x22 + px2 + q = 0. Теорема доказана.
Иногда доказанную теорему называют теоремой, обратной к теореме Виета. Действительно, первая теорема утверждает, что
если числа x1 и x2 удовлетворяют уравнению x2 + px + q = 0, то они связаны равенствами x1 + x2 = –p, x1 x2 = q.
Вторая теорема утверждает, что
если числа x1 и x2 связаны равенствами x1 + x2 = –p, x1 x2 = q, то они удовлетворяют уравнению x2 + px + q = 0.
С помощью теоремы Виета, зная один корень квадратного уравнения, например, x1, мы легко найдем второй из соотношения x1 + x2 = –p (или из соотношения x1 x2 = q).
Приведем пример. Один корень уравнения x2 + 99x – 100 = 0 угадывается сразу: x1 = 1. Действительно, 1 + 99 – 100 = 0. Второй корень найдем из равенства 1 × x2 = –100, откуда x2 = –100. Конечно, x2 можно было найти и из равенства 1 + x2 = –99.
Как связаны между собой корни квадратного трехчлена x2 + px + q и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя “отца алгебры”, французского математика Ф. Виета, жившего в конце XVI века.
Теорема.
Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.
Доказательство. Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:
x1 + x2 = –p
x1 x2 = q
Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства:
x12 + px1 + q = 0
x22 + px2 + q = 0
Вычтем эти равенства друг из друга. Получим
x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0
Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 ¹ 0 и мы можем сократить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы:
x1 + x2 = –p
Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2):
x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Преобразуя левую часть, получаем:
x12 – x12 – x2 x1 + q = 0
x1 x2 = q, что и требовалось доказать.
Комментарий. Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 × 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями. Эту догадку можно аккуратно доказать.
Теорема. Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = –p и x1 x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x2 + px + q = 0.
Доказательство. Из первого из данных равенств выразим x2 и подставим во второе: x2 = –p – x1, x1 × x2 = x1 × (–p – x1) = q. Получаем –x12 – px1 = q или x12 + px1 + q = 0. Это означает, что число x1 является корнем квадратного уравнения x2 + px + q = 0. Если бы наоборот мы выразили x1 через x2, то получили бы и для x2 аналогичное соотношение: x22 + px2 + q = 0. Теорема доказана.
Иногда доказанную теорему называют теоремой, обратной к теореме Виета. Действительно, первая теорема утверждает, что
если числа x1 и x2 удовлетворяют уравнению x2 + px + q = 0, то они связаны равенствами x1 + x2 = –p, x1 x2 = q.
Вторая теорема утверждает, что
если числа x1 и x2 связаны равенствами x1 + x2 = –p, x1 x2 = q, то они удовлетворяют уравнению x2 + px + q = 0.
С помощью теоремы Виета, зная один корень квадратного уравнения, например, x1, мы легко найдем второй из соотношения x1 + x2 = –p (или из соотношения x1 x2 = q).
Приведем пример. Один корень уравнения x2 + 99x – 100 = 0 угадывается сразу: x1 = 1. Действительно, 1 + 99 – 100 = 0. Второй корень найдем из равенства 1 × x2 = –100, откуда x2 = –100. Конечно, x2 можно было найти и из равенства 1 + x2 = –99.
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: что такое теорема Виета