теорема лопиталя

Ответ от Николай Ермолович[гуру]
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций, то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем
(1)
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
ЕСЛИ ЧТОТО НЕПОНЯТНО в ГООГЛЕ набери ( напишите доказательство на правила Лопиталя ) там по ссылкам смотри
Например, найти. Этот предел существует. Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.
Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.
Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4.
5.
Обозначим .
Прологарифмируем это равенство. Найдем .
Так как lny функция непрерывная, то. Следовательно, или .
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).
Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде
(1)
В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .
Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:
Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.
Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.
Подставим в (1) x = x0 и найдем, но с другой стороны. Поэтому
Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .
Учитывая третье условие и то, что
,
получим, т. е. .
Далее. Значит, , т. е. .
Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:
Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.
Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:
Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
Формула
где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.
Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде
где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.
.

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]