Интеграл посчитать
Автор Бяка задал вопрос в разделе Техника
Объясните, пожалуйста, что такое интеграл и как его расчитывать (подробно). и получил лучший ответ
Ответ от Qwerty qwerty[гуру]
интеграл это противоположное производной, брать его по таблице
Ответ от DoctoR[гуру]
Интеграл показывает площадь функции. Разбивает на бесконечное количество маленьких кусочков и суммирует.
А рассчитывать - это зависит от того какой интеграл - определенный или нет.
Интеграл показывает площадь функции. Разбивает на бесконечное количество маленьких кусочков и суммирует.
А рассчитывать - это зависит от того какой интеграл - определенный или нет.
Ответ от Leonid[гуру]
Тут в вопросе речь об ОПРЕДЕЛЁННОМ интеграле.
Определённый интеграл есть обощение понятия "сумма" на случай непрерывного изменения "слагаемых". Поэтому проще всего его представлять себе как площадь под кривой. Вот если задана какая-то функция, то её интеграл "в пределах от t до t+Δt" - это берётся кривая, описываемая функцией, берутся две точки на оси х (t и t+Δt), и ищется площадь "кривого прямоугольника", у которого нижнее основание - кусок оси х между этими точками, верхнее основание - кусок кривой между этими же точками, ну а высота оказывается переменной. (Если часть кривой - или даже она вся - лежит ниже оси Х, то высота считается отрицательной, так что и значение интеграла может оказаться отрицательным. )
КАК СЧИТАТЬ интеграл - это уже отдельный вопрос. Да, для вычисления определённого интеграла надо уметь считать неопределённые интегралы, которые представляют собой функцию. Вычисление неопределённого интегграла есть операция, обратная нахождению производной. То есть если f(x) = F'(x), то по определению F(x) есть неопределённый интеграл от f(x). Функция F(x) называется первообразной от f(x) - аналогично тому, как f(x) называется производной от F(x). И тогда определённый интеграл от f(x) в пределах от а до b - при некоторых условиях - равен разности значений первообразной на пределах интегрирования, т. е. F(b) - F(a), или, как для примера в вопросе, F(t+Δt) - F(t).
Тут в вопросе речь об ОПРЕДЕЛЁННОМ интеграле.
Определённый интеграл есть обощение понятия "сумма" на случай непрерывного изменения "слагаемых". Поэтому проще всего его представлять себе как площадь под кривой. Вот если задана какая-то функция, то её интеграл "в пределах от t до t+Δt" - это берётся кривая, описываемая функцией, берутся две точки на оси х (t и t+Δt), и ищется площадь "кривого прямоугольника", у которого нижнее основание - кусок оси х между этими точками, верхнее основание - кусок кривой между этими же точками, ну а высота оказывается переменной. (Если часть кривой - или даже она вся - лежит ниже оси Х, то высота считается отрицательной, так что и значение интеграла может оказаться отрицательным. )
КАК СЧИТАТЬ интеграл - это уже отдельный вопрос. Да, для вычисления определённого интеграла надо уметь считать неопределённые интегралы, которые представляют собой функцию. Вычисление неопределённого интегграла есть операция, обратная нахождению производной. То есть если f(x) = F'(x), то по определению F(x) есть неопределённый интеграл от f(x). Функция F(x) называется первообразной от f(x) - аналогично тому, как f(x) называется производной от F(x). И тогда определённый интеграл от f(x) в пределах от а до b - при некоторых условиях - равен разности значений первообразной на пределах интегрирования, т. е. F(b) - F(a), или, как для примера в вопросе, F(t+Δt) - F(t).
Ответ от Инженер-констриктор[гуру]
В девятом классе это объясняют примерно так: определённый интеграл - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции.
Пусть у нас есть какая-то величина, которая меняется со временем - например, скорость при неравномерном движении.
А нам необходимо найти путь, пройденный телом. Вот это и делается с помощью интеграла.
Формально для этого составляется интегральная сумма - мы разбиваем процесс движения тела на маленькие промежутки по времени - по миллисекунде, например - Δt = 0,001 мс. Измеряем во время этой миллисекунды скорость, получаем какое-то её значение V1. Считаем, что за такое время скорость почти не изменяется, то есть движение на каждом промежутке равномерное. Тогда путь на этом небольшом отрезочке Δt будет Δs1 = V1 Δt.
Потом переходим к следующей точке, там скорость уже меняется и Δs2 = V2 Δt и так далее по всему пути.
Весь путь будет приближённо равен сумме этих маленьких отрезков s = Σ (VΔt).
На графике это означает, что плавная кривая заменяется набором чёрточек, а площадь под кривой покрывается узенькими "столбиками".
Понятно, что скорость никогда не остаётся постоянной, а непрерывно изменяется, поэтому чем чаще мы будем измерять её очередное значение, тем точнее вычислим путь.
Поэтому интеграл - это предельный случай, когда мы берём значение в каждой точке, то есть когда Δt -> 0.
Это и записывается как интеграл:
s ≈ Σ (VΔt) -> ∫ V dt
При этом V = ds/dt - скорость есть производная пути по времени.
Получается, что мы, вычисляя площадь, в каждой точке графика заменяем какую-то криволинейную функцию прямой (её производной).
Фактически с этого и начинают вычисление интеграла.
Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию.
Чтобы вычислить интеграл, нужно найти первообразную подынтегральной функции в двух точках - на границах, указанных при интеграле (время начала движения - время окончания движения).
Пусть, например, тело свободно падает из состояния покоя.
Тогда его скорость будет зависеть от времени как V = gt.
Чтобы найти путь тела, нам нужно найти такую функцию, производная которой равна gt - это функция gt²/2 (что легко проверяется дифференцированием).
Получаем известную формулу пути s = gt²/2.
Здесь и возникает связь с Δt.
Если скорость от времени не изменяется, то (её можно вынести за знак интеграла) путь будет равен s = VΔt = V(t2-t1).
Общих правил интегрирования нет.
Есть даже интегралы, которые невозможно записать в элементарных функциях, но в школе такие не встретятся.
Для распространённых функций существуют таблицы интегралов (легко гуглится).
В девятом классе это объясняют примерно так: определённый интеграл - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции.
Пусть у нас есть какая-то величина, которая меняется со временем - например, скорость при неравномерном движении.
А нам необходимо найти путь, пройденный телом. Вот это и делается с помощью интеграла.
Формально для этого составляется интегральная сумма - мы разбиваем процесс движения тела на маленькие промежутки по времени - по миллисекунде, например - Δt = 0,001 мс. Измеряем во время этой миллисекунды скорость, получаем какое-то её значение V1. Считаем, что за такое время скорость почти не изменяется, то есть движение на каждом промежутке равномерное. Тогда путь на этом небольшом отрезочке Δt будет Δs1 = V1 Δt.
Потом переходим к следующей точке, там скорость уже меняется и Δs2 = V2 Δt и так далее по всему пути.
Весь путь будет приближённо равен сумме этих маленьких отрезков s = Σ (VΔt).
На графике это означает, что плавная кривая заменяется набором чёрточек, а площадь под кривой покрывается узенькими "столбиками".
Понятно, что скорость никогда не остаётся постоянной, а непрерывно изменяется, поэтому чем чаще мы будем измерять её очередное значение, тем точнее вычислим путь.
Поэтому интеграл - это предельный случай, когда мы берём значение в каждой точке, то есть когда Δt -> 0.
Это и записывается как интеграл:
s ≈ Σ (VΔt) -> ∫ V dt
При этом V = ds/dt - скорость есть производная пути по времени.
Получается, что мы, вычисляя площадь, в каждой точке графика заменяем какую-то криволинейную функцию прямой (её производной).
Фактически с этого и начинают вычисление интеграла.
Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию.
Чтобы вычислить интеграл, нужно найти первообразную подынтегральной функции в двух точках - на границах, указанных при интеграле (время начала движения - время окончания движения).
Пусть, например, тело свободно падает из состояния покоя.
Тогда его скорость будет зависеть от времени как V = gt.
Чтобы найти путь тела, нам нужно найти такую функцию, производная которой равна gt - это функция gt²/2 (что легко проверяется дифференцированием).
Получаем известную формулу пути s = gt²/2.
Здесь и возникает связь с Δt.
Если скорость от времени не изменяется, то (её можно вынести за знак интеграла) путь будет равен s = VΔt = V(t2-t1).
Общих правил интегрирования нет.
Есть даже интегралы, которые невозможно записать в элементарных функциях, но в школе такие не встретятся.
Для распространённых функций существуют таблицы интегралов (легко гуглится).
Ответ от Алексей Гриценко[новичек]
Интеграл это первообразная.
Интеграл это первообразная.
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Объясните, пожалуйста, что такое интеграл и как его расчитывать (подробно).