метод неопределенных коэффициентов онлайн

Ответ от Carlos[гуру]
y\'\' + 2*y\' = x - e^(-2*x). Решаем однородное уравнение: y\'\' + 2*y\' = 0. Характеристическое уравнение: k^2 + 2*k = 0, k*(k + 2) = 0, k_1 = 0, k_2 = -2. Общее решение однородного уравнения: y_{о. о. }(x) = C_1*e^(0*x) + C_2*e^(-2*x), y_{о. о. }(x) = C_1 + C_2*e^(-2*x). Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Так как правая часть неоднородного уравнения имеет специфический вид, будем искать частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов. Правая часть имеет вид: x*e^(0*x) - e^(-2*x). Так как 0 и -2 корни характеристического уравнения будем искать частное решение в виде: y_{ч. н. }(x) = x*((A*x + B)*e^(0*x) + C*e^(-2*x)). Имеем: y_{ч. н. }(x) = x*(A*x + B + C*e^(-2*x)). y_{ч. н. }\'(x) = A*x + B + C*e^(-2*x) + x*(A - 2*C*e^(-2*x)) = 2*A*x + B + (C - 2*C*x)*e^(-2*x). y_{ч. н. }\'\'(x) = 2*A - 2*C*e^(-2*x) + (-2*C + 4*C*x)*e^(-2*x) = 2*A + 4*C*(x-1)*e^(-2*x). Подставляем в уравнение: 2*A + 4*C*(x-1)*e^(-2*x) + 2*(2*A*x + B + (C - 2*C*x)*e^(-2*x)) = x - e^(-2*x), 2*A + 4*C*(x-1)*e^(-2*x) + 4*A*x + 2*B + 2*C*(1 - 2*x)*e^(-2*x) = x - e^(-2*x), (4*A*x + 2*B + 2*A) - 2*C*e^(-2*x) = x - e^(-2*x), На основании линейной независимости функций составляем систему уравнений для коэффициентов A, B, C: 4*A = 1, 2*B + 2*A = 0, -2*C = -1. Из которой находим: A = 1/4, B = -1/4, C = 1/2. Искомое частное решение: y_{ч. н. }(x) = x*(0,25*x - 0,25 + 0,5*e^(-2*x)). Тогда общее решение неоднородного уравнения: y_{о. н. }(x) = y_{о. о. }(x) + y_{ч. н. }(x), y_{о. н. }(x) = C_1 + C_2*e^(-2*x) + x*(0,25*x - 0,25 + 0,5*e^(-2*x)). Ответ: y(x) = C_1 + C_2*e^(-2*x) + x*(0,25*x - 0,25 + 0,5*e^(-2*x)).