нахождение первообразной

Ответ от Владимир Павлек[гуру]
Попробую по пунктам внести ясность.. .
1. Интеграл вводится двумя способами: первообразная (или неопределенный интерграл) и определенный интеграл.
Первообразная это функция. Нахождение первообразной, по сути, это некоторая операция над данной функцией, обратная операции нахождения производной. То есть первообразная и производная это такая же пара, как сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня.
Можно от данной функции найти производную, а можно найти первообразную. И тогда наша данная функция является первообразной для своей производной, а с другой стороны она является производной для своей первообразной.
Определенный интеграл это число. Он определяется как предел интегральных сумм для данной функции на определенном отрезке. Вообще, исходя из определения, совсем неочевидно, что между первообразной и определенным интегралом должна быть какая-то связь. Но оказывается, что существует, теорема есть специальная, что определенный интеграл можно вычислять, как разность первообразных на концах отрезка. Вот этой теоремой вы и пользуетесь, когда вычисляете определенный интеграл.
2. Есть у определенного интеграла такое свойство, что он равен площади фигуры ограниченной графиком функции. Это даже не свойство, а прямое следствие его введения, как предела интегральных сумм.
3. Физический смысл производной - скорость изменение функции, но в том, что касается интегралов, площадей и т. д. , производную воспринимают абстрактно, как функцию с определенными свойствами.
Теперь посмотрим, что происходит, когда вы решаете задачу по нахождению площади под графиком функции.
Вам нужно найти определенный интеграл, на каком-то там отрезке. Он и будет равен площади. Значит задача сводится к нахождению определенного интеграла. Для его нахождения пользуемся связью определенного интеграла с первообразной. То есть нам нужно найти первообразную к нашей данной функции, допустим x^3. Ну а первообразная по определению это такая функция производная от которой равна нашей данной, то есть нужно найти такую функцию, производная от которой равна x^3, а это функция x^4 / 4.
Вот в принципе и все. Насколько я понял вас в этом рассуждении смущала путаница между интегралом и первообразной, но по сути это совершенно разные вещи - площадь под графиком и операция над функцией, обратная к взятию производной. Но между этими "совершенно разными вещами" существует очень четкая связь, которая и позволяет нам считать интегралы через первообразную.
А то, что производная это скорость изменения функция, в общем в данном рассуждении значения не имеет, вернее имеет, но более глубокое, просто благодаря этому и существует связь между первообразной и интегралом.