производная тангенса

Ответ от Прозекторская[эксперт]
минус котангенс

Ответ от Книксен[активный]
(1/cos(x))^2=sec^2(x)=tg^2(x)+1
(^-возведение в степень)
Могу доказать.
tg'(x)=lim{h->0}((tg(x+h)-tg(x))/h)[определение производной]
Есть формула tg(a)-tg(b)=(sin(a-b))/(cos(a)cos(b))[легко доказывается: в применяем формулу синуса суммы,
получаем разность:sin(a)cos(b)/(cos(a)cos(b))-sin(b)cos(a)/(cos(a)cos(b))= tg(a)-tg(b)].
Применяем формулу в пределе: tg'(x)=lim{h->0}(sin(h)/h*1/(cos(x+h)cos(x)).
sin(h)/h при h->0 равно 0(замечательный предел).
1/(cos(x+h)cos(x)) при h->0 равно 1/cos^2(x).
Откуда tg'(x)=1/cos^2(x)=sec^2(x).{определение sec есть 1/cos}.
tg^2+1=sin^2(x)/cos^2(x)+1=(sin^2(x)+cos^2(x))/cos^2(x)=1/cos^2(x)=tg'(x).

Ответ от радостный[активный]
(1/cos(x))^2-1

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]