радиус вписанной окружности в треугольник

Ответ от Fake[эксперт]
Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.
Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.
Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треугольника это всегда возможно.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности
Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: r=pS, где S - площадь треугольника, а p=2a+b+c - полупериметр треугольника.
Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: R=4Sabc, где S - площадь треугольника.
Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной.
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности находят по формулам: r=aba+b+c, и r=2a+b−c, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Радиус равен половине гипотенузы: R=c2.
Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: R=mc.
Четырехугольник, описанный около окружности
Четырехугольник ABCD можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны AB + CD = BC + AD.
Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
Площадь: S=pr, где r - радиус вписанной окружности, а p=2a+b+c+d - полупериметр.
Четырехугольник, вписанный в окружность
Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна 180:+++=180 .
Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны 180.
Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: ABDC+ADBC=BDAC.
Площадь: S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d) , где p=2a+b+c+d - полупериметр четырехугольника.
Окружность, вписанная в ромб
В любой ромб можно вписать окружность.
Радиус r вписанной окружности: r=2h, где h - высота ромба или r=4ad1d2, где a - сторона ромба, d1 и d2 - диагонали ромба.