теорема о равностороннем треугольнике

Ответ от VK[гуру]
Определение 7. Равнобедренным называется всякий треугольник, две стороны которого равны.
Две равные стороны называют боковыми, третью – основанием.
Определение 8.Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
Он является частным видом равнобедренного треугольника.
Теорема 18. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и осью симметрии основания.
рисунок ко всем доказательствам Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника. Углы А и С равны, также высота делит основание пополам и будет осью симметрии всей рассматриваемой фигуры.
Также эту теорему можно сформулировать так:
Теорема 18.1. Медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, высотой и осью симметрии основания.
Теорема 18.2. Биссектриса равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является высотой, медианой и осью симметрии основания.
Теорема 18.3. Ось симметрии равнобедренного треугольника одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и высотой.
Доказательство этих следствий тоже следует из равенства треугольников, на которые делится равнобедренный треугольник.
Теорема 19. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника, значит соответственные углы равны, т. е. РА=РС
Признаки равнобедренного треугольника идут из теоремы 1 и его следствий и теоремы 2.
Теорема 20. Если две из указанных четырех линий (высота, медиана, биссектриса, ось симметрии) совпадут, то треугольник будет равнобедренным (а значит, совпадут и все четыре линии) .
Теорема 21. Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.
Теорема 22. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).
Источник: rgp.nm.ru/geometriia/treug/rbrstr.html